Conjuntos (parte 2)

• Os conceitos de intersecção e união podem ser generalizados para mais de dois conjuntos. Assim, dados os conjuntos A, B, C, D, o conjunto resultante A ∪ B ∪ C ∪ D é aquele constituído de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos.

Exemplo:

A = {1,2,3}
B = {3,4,5}
C = {3,1,7,9}
D = {3,6,7,8}

A ∪ B ∪ C ∪ D = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• O conjunto resultante de A ∩ B ∩ C ∩ D é aquele constituído de todos os elementos comuns a A, B, C, D;

Exemplo: sendo A, B, C, D os conjuntos anteriores, temos: A ∩ B ∩ C ∩ D = {3}

Da definição de união e intersecção de conjuntos decorre que, para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (propriedade distributiva da intersecção em relação à união)

• Se A é conjunto e B é conjunto, então a diferença de A por B, em símbolos A - B ou A ~ B é o conjunto dos elementos que pertencem a A, porém não pertencem a B, ou, de maneira equivalente, A - B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}

Utilizando os Diagramas de Euler, hachuramos A - B.

• O complemento do conjunto A, subconjunto de um conjunto universo U, em símbolos A' ou A^c ou ~A é o conjunto de todos os elementos que não pertencem a A.

Simbolicamente:

A' = U - A = {x : x ∉ A}

• Se A é conjunto e B é conjunto e se A é um subconjunto de B, define-se o complementar de A em relação a B e nota-se C_BA como o conjunto B - A.

Utilizando os Diagramas de Venn-Euler, destacamos C_BA

Conjunto das Partes ou Conjunto Potência de um Conjunto

Se A é um conjunto finito, então o conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado conjunto das partes de A ou conjunto potência de A, representado por P(A) ou 2^A

Exemplo:
Se A = {1, 2, 3}, então:
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, A}.
Pode-se demonstrar que se A tem n elementos então P(A) tem 2ⁿ elementos.