Equações

Equações do Tipo ax + b = 0; U = R onde a, b são Reais

1º Caso: a ≠ 0

Temos ax + b = 0 ⇔ ax = -b ⇔ x = -b/a

V = { -b/a }

Isto é, a equação tem somente uma raiz.

2º Caso: a = b = 0

Neste caso, a equação ax + b = 0 torna-se 0x + 0 = 0, satisfeita por qualquer número real. Logo, V = R

3º Caso: a = 0 ^ b ≠ 0

A equação ax + b = 0 torna-se 0x + b = 0. Como 0x = 0 para todo real x e b ≠ 0, o lado esquerdo da equação nunca irá anular-se.

Neste caso, nenhum número real satisfaz a equação, isto é, V = ∅

Equação Produto

Sendo a_i ∈ R, b_i ∈ R, temos:

(a₁x + b₁)(a₂x + b₂)(a₃x + b₃)...(a_nx + b_n) = 0

• a₁x + b₁ = 0
• a₂x + b₂ = 0
• ...
• a_nx + b_n = 0

Exemplo

Sendo U = R, resolver a equação:

(x - 1)(2x + 1)(-x + 2) = 0

• x - 1 = 0 => x = 1
• 2x + 1 = 0 => x = -1/2
• -x + 2 = 0 => z = 2

V = { 1 ; -1/2 ; 2 }

Equação Quociente

Se F e G são formas descritivas de números, então:

F/G = 0 ⇔ F = 0 e G ≠ 0

Exemplo

Resolver a equação:

(2x + 1) / (x - 1)(2x - 1) = 0

• (2x + 1) = 0 => x = -1/2
• (x - 1) ≠ 0 => x ≠ 1
• (2x - 1) ≠ 0 => x ≠ 1/2

Portanto V = { -1/2 }

Equações Equivalentes

Duas equações são equivalentes num dado universo U se elas apresentam o mesmo conjunto verdade nesse universo.

Equações do Tipo ax² + bx + c = 0 ; U = R onde a, b, c são Números Reais

1. Se a = 0, a equação anterior transforma-se numa equação do tipo ax + b = 0 (U = B).
2. Se a ≠ 0, a equação anterior é chamada equação de 2º grau.

Neste caso, obtemos um número Δ, dado por Δ = b² - 4ac, chamado discriminante da equação. Este número surge quando decompomos o trinômio de 2º grau ax² + bc + c na formula:

x - (-b - √Δ) / 2a

A existência ou não de raízes reais para a equação ax² + bx + c = 0 está condicionada à possibilidade ou não de podermos escrever a fatoração anterior no universo dos reais. Assim, vamos considerar:

1º Caso: Δ > 0

Aqui, a fatoração é possível e a equação admite duas raízes reais distintas.

V = { ( -b - √Δ )/ 2a ; ( -b + √Δ )/ 2a }

2º Caso: Δ = 0

Neste caso, ainda é possível fatorar o trinômio, que se torna um quadrado perfeito, ou seja, as raízes da equação são iguais (raiz dupla). Temos:

V = { -b / 2a }

3º Caso: Δ < 0

Não é possível fatorar o trinômio em R, isto é, a equação não tem raízes reais.

Rsumidamente, V ≠ 0.

Equação do 2º Grau Incompleta

Se em ax² + bc + c = 0, com a ≠ 0, tivermos b = 0 ou C = 0, então a equação é chamada incompleta. A solução, então, dispensa o cálculo do discriminante.

1º Caso: b = 0; U = R

ax² + c = 0 ⇔ x² = -c/a

V = { -√(-c/a), +√(-c/a) } se - c/a >= 0

V = Ø se - c/a < 0

2º Caso: c = 0

ax² + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0 ⇔

• x = 0
• x = -b/a
• v = { 0 ; -b/a }

3º Caso: b = 0 ^ c = 0

ax² = 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0

V = { 0 }

Composição da Equação do 2º Grau, Dadas as Raízes

Sejam x₁ e x₂ as raízes da equação ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.

Dividindo-se ambos os membros por a, temos: x² - Sx + P = 0

Onde:

• S = x₁ + x₂
• P = x₁ . x₂

Resolução de Equações do Tipo ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0

Para resolver a equação ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0, basta fazer uma substituição de variáveis, como segue:

ax²ⁿ + bxⁿ + c = 0

• ay² + by + c = 0
• y = xⁿ