Operações com números reais

Por: Redação | Canal: Mamemática

1ª Parte:
- Caracterização do conjunto R dos números reais
  - Corpo (ou Corpo Comutativo)
    - Axioma da Adição
    - Axioma da Multiplicação
    - Axioma da Distributividade
  - Corpo Ordenado
- Números Racionais
- Números Irracionais
- Números Reais
  - Propriedades dos números reais

2ª Parte:
- Potência e Raízes
  - Expoente Inteiro
  - Propriedades de Potência com Expoente Inteiro
  - Raizes
  - Potência com Expoente Racional da Forma "1"/n
  - Expoente Racionais Quaisquer

Caracterização do conjunto R dos números reais

Corpo (ou Corpo Comutativo)

Dado um conjunto K, com pelo menos dois elementos, dizemos que K é um corpo (ou corpo comutativo) se, e somente se, estão definidas em K duas operações, uma das quais chamamos de adição e a outra de multiplicação. A adição relaciona o par (a, b), a, b ∈ K à sua soma a + b e a multiplicação relaciona o par (a, b), a, b ∈ K ao seu produto a . b (ou ab), que satisfazem os seguintes axiomas:

Axioma da Adição

∀ a, b, c ∈ K	(a + b) + c = a + (b + c)	(associatividade)
∀ a, b ∈ K	a + b = b + a	(comutatividade)
∃ 0 ∈ K, ∀ a ∈ K	a + 0 = a	(0: elemento neutro)
∀ a ∈ K, ∃ - a ∈ K	a + (- a) = 0	(-a: oposto de a)

Axioma da Multiplicação

∀ a, b, c ∈ K	(ab)c = a(bc)	(associatividade)
∀ a, b ∈ K	ab = ba	(comutatividade)
∃ 0 ∈ K, ∀ a ∈ K	a . 1 = a	(1: elemento neutro)
∀ a ∈ K - {0}, ∃ a^-1 ∈ K	a . a^-1 = 1	(a^-1: inverso de a)

Axioma da Distributividade

∀ a, b, c ∈ K

a(b + c) = ab + ac

(distributividade da multiplicação em relação à adição)

Corpo Ordenado

K é um corpo ordenado se, e somente se, existe um subconjunto P ⊂ K, tal que:

∀ a, b ∈ P	a + b ∈ P e a . b ∈ P	(P: conjunto dos elementos positivos de K)
∀ x ∈ K	x = 0 ∨ x ∈ P ∨ -x ∈ P

Números Racionais

Para a ∈ Z, b ∈ Z*, números escritos na forma a/b são números racionais. Assim:

Q = { x : x = a/b ; a ∈ Z ; b ∈ Z* }

Em a/b, a é o numerador, b é o denominador. Para c ∈ Z*, (a . c) / (b . c) = (a : c) / (b : c)

Dados os racionais a/b e c/d, as frações a/b e c/d dizem-se equivalentes se, e somente se: a/b = c/d (ou ad = bc)

Todo racional escrito na forma de fração pode ser escrito na forma de numeral decimal. Os numerais decimal podem ser dos tipos a seguir:

Numerais decimais exatos: 0,563
Dízimas periódicas simples: 0,666...
Dízimas periódicas compostas: 0,161616...
Numerais decimais não-periódicos: 0,123456...

Todos os decimais anteriores, com exceção dos numerais decimais não-periódicos, podem ser escritos na forma de fração; podemos concluir que há numerais decimais que não denotam números racionais.

A maneira pela qual se tranformam numerais decimais em frações, quando possível, pode ser descrita pelos exemplos:

0,368 = 368/1000
0,66666... = 6/9 = 2/3
0,2843 = (2843 - 2) / 9990

Números Irracionais

Já vimos que há certos números que não podem ser escritos na forma de fração. Tais números denominam-se números irracionais. Há infinitos irracionais. Exemplo: todos números da forma √n, para n ∈ N e n primo.

Número racional e número irracional

A partir dessas definições, podemos afirmar que:

Existem infinitos racionais e infinitos irracionais.
Se x é um número (racional ou irracional) diferente de y (racional ou irracional), então existem números racionais e irracionais entre x e y.
Q ∩ (R - Q) = Ø; não há nenhum número que seja racional e irracional.

Números Reais

O conjunto Q ∩ (R - Q) é chamado conjunto dos números reais. Cada número real pode ser realacionado a um único ponto de uma reta e cada ponto da mesma a um único número real. As propriedades comuns aos números racionais e irracionais são propriedades dos números reais.

Propriedades dos números reais

Propriedade de Fechamento: adição, subtração, multiplicação, divisão (R*).

Para todo a, b ∈ R: a + b ∈ R ; a - b ∈ R ; a . b ∈ R
Para a ∈ R, b ∈ R* , a/b ∈ R Observação:

A soma, o produto, a diferença e o quociente (por um racional não-nulo) de números racionais são sempre números racionais.
A soma, a diferença, o produto e o quociente de números irracionais podem ou não ser um número irracional.
A soma ou diferença de um racional e um irracional é sempre irracional. O produto e o quociente de um racional não-nulo por um irracional é sempre irracional. O quociente de um irracional por um racional não-nulo é sempre irracional.

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