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Operações com números reais (parte 2)
Por: Redação | Canal: Mamemática
Potência e Raízes
Expoente Inteiro
- Para a ∈ R: a0 = 1.
- Para a ∈ R, n ∈ N*: an = a . a . a . a . a . a = a . an - 1
- Para a ∈ R*; n ∈ Z: a -n = 1/an
Propriedades de Potência com Expoente Inteiro
- Para a, b ∈ R*; m ∈ Z; (a . b)m = am . bm
- Para a ∈ R*; m, n ∈ Z; am . an = am + n
- Para a ∈ R*; m, n ∈ Z; (am)n = (an)m
Raizes
Se a ∈ R+; b ∈ R; n ∈ N* e an = b, então a = n√b (a = n√b lê-se: a é a raiz n-ésima de b)
Se a ∈ R- e n é par positivo e an = b, então a = -n√b
Se a ∈ R- e n é ímpar positivo e an = b, então a = n√b
- Para a ∈ Z, pode ocorrer: √a ∉ R
- Para a ∈ Q, pode ocorrer: √a ∉ R; √a ∉ Q, mas √a ∈ R
- De um modo geral, para a ∈ Q+, se não existe b ∈ Q tal que b2 = a, então √a é um número irracional.
Potência com Expoente Racional da Forma "1"/n (n ∈ N*)
Para a ∈ R*+; n ∈ N*; a1/n = n√a ; a-1/n = 1/n√a
- Para a ∈ R*-, n par, a1/n ∉ R e n√a ∉ R.
- Para n ímpar e a ∈ R, a1/n e n√a estão sempre definidos.
Propriedade:
Para a, b ∈ R+; n ∈ N*;
- (a . b)1/n = a1/n . b1/n
- n√(a . b) = n√a . n√b
Propriedade:
Para a, b ∈ R*+; m, n ∈ Z*;
- (a/b)1/n = a1/n/b1/n = n√(a/b) = n√a / n√b
- (a1/m)1/n = a1/mn
- m√n√a = n√m√a = mn√a
Propriedade:
Para a ∈ R; k ∈ N*:
- a2k/2k = a
- 2k√a2k = |a|
- a2k - 1/2k - 1 = 2k - 1√a2k - 1 = a
Para a ∈ R+ ; k, p ∈ N* :
- ak/kp = a1/p
- kp√ak = p√a
- akp/k = ap
- k√akp = ap
Expoente Racionais Quaisquer
Para a ∈ R*+ ; m, n ∈ Z* ; am/n = n√am
Observação: para a ∈ R*-, devemos impor m e n primos entre si; se o denominador (n) for par, não estão definidas em R as espressões: am/n e n√am
Propriedades de Potência com Expoente Racional
Supondo as expressões a seguir definidas em R, temos:
- am/n . bm/n = (ab)m/n
- n√am . n√bm = n√(ab)m
- am/n/bm/n = (a/b)m/n = n√am / n√bm = n√(a/b)m
- am/n . ap/q = a(mq + np)/nq = n√am . q√ap = nq√amq + rp
- (am/n)p/q = amp/nq
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